一、方向概况与选拔要点

复旦大学复杂系统理论（含应用数学）方向依托复旦大学数学科学学院、复旦大学复杂体系多尺度研究院、上海数学中心（国家应用数学中心分中心）、复旦大学大数据学院，联合教育部"非线性数学模型与方法"重点实验室、上海市"现代应用数学"重点实验室、国家应用数学中心（上海）核心支撑平台、中国工业与应用数学学会（csi am）副理事长单位、中国数学会应用数学专委会、上海市非线性科学学会、《应用数学学报》《数学物理学报》编辑部、国际工业与应用数学联合会（iciam）中国分会联络处等核心载体，是由复旦大学自1950年代即在微分方程、概率论与力学领域奠基深耕，历经苏步青、谷超豪、李大潜等前辈学人薪火相传，2005年复杂体系多尺度研究院成立后正式将"复杂系统理论"确立为独立交叉方向，2019年上海数学中心获批后进一步整合应用数学、计算数学、统计物理、数据科学资源，形成的国内将"非线性动力学—复杂网络—多尺度建模—随机系统—偏微分方程—数据驱动方法—计算数学—行业应用"八维一体建设的学科高地。该方向整合纯粹数学、物理学、计算机科学、统计学、工程学、生物学、经济学、社会科学等多学科资源，聚焦"系统建模—方程推导—定性分析—定量求解—稳定性判别—分岔与混沌—多尺度耦合—数据同化—预测控制"全链条复杂系统研究逻辑，形成"方程为骨、分析为魂、计算为翼、应用为归"的培养格局，为国家"双一流"建设学科核心方向，在教育部第五轮学科评估中数学获评a+。

研究方向涵盖：非线性动力学与混沌理论（常微分方程ode/动力系统/平衡点稳定性/limit cycle/分岔理论/hopf分岔/倍周期分岔/同宿与异宿轨道/混沌/lyapunov指数/奇怪吸引子/kolmogorov-arnold-moser（kam）理论/哈密顿系统/耗散结构/耗散系统）、复杂网络与图论（小世界网络/无标度网络/网络动力学/同步与一致性/网络传播/网络控制/percolation/社区发现/高阶网络/超图/时变网络/多层网络）、偏微分方程与数学物理（椭圆/抛物/双曲方程/非线性pde/navier-stokes方程/schrödinger方程/kdv方程/burgers方程/反应扩散方程/自由边界问题/奇点形成/正则性理论/弱解与强解/变分方法）、多尺度建模与均匀化（微观-介观-宏观耦合/分子动力学-连续介质桥接/均匀化理论/多尺度有限元/异质多尺度方法hmm/粗粒化/重整化群）、随机系统与随机微分方程（随机微分方程sde/itô calculus/fokker-planck方程/langevin方程/大偏差理论/随机偏微分方程spde/随机动力系统/噪声诱导现象/随机共振/亚稳态转换）、流体力学与连续介质力学（不可压缩/可压缩流/turbulence/boundary layer/vortex dynamics/多相流/非牛顿流体/弹性力学/塑性力学/断裂力学）、数据驱动建模与科学计算（physics-informed neural networks（pinn）/operator learning/deeponet/fourier neural operator/sparse identification of nonlinear dynamics（sindy）/dynamic mode decomposition（dmd）/koopaman算子/数据同化/降阶模型rom/自适应网格/谱方法/有限元/有限体积/格子玻尔兹曼方法lattice boltzmann）、生物数学与生态动力学（种群动力学/传染病模型sir-seir/反应扩散与turing pattern/神经动力学/ Hodgkin-Huxley模型/基因调控网络/进化博弈/生态网络稳定性）、金融数学与经济物理（随机控制/最优停时/Black-Scholes/跳跃扩散/粗糙波动率/mean-field game/agent-based经济模型/系统性风险网络）、统计物理与相变（ising模型/potts模型/percolation/自旋玻璃/玻璃化转变/活性物质/非平衡统计力学/熵产生/涨落定理）、控制理论与优化（最优控制/模型预测控制mpc/鲁棒控制/自适应控制/多智能体系统/博弈论/变分不等式/凸优化/非凸优化）等核心议题。当前团队深度参与国家"复杂系统调控与智能优化"重大研究计划、国家自然科学基金"非线性偏微分方程"创新研究群体项目、上海数学中心基础数学前沿攻关、国家"双碳"战略能源系统多尺度建模、中国商飞大飞机气动仿真、国家气象局数值天气预报模式改进、央行系统性金融风险网络建模等国家重大任务。

选拔要求申请者绩点位列专业前5%-10%，核心课程涵盖数学分析、高等代数、实变函数、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、概率论、随机过程、数值分析、复变函数、拓扑学、微分几何、力学、数学物理方程、python/matlab/c++/jul ia等；英语六级520分以上，需具备communications on pure and applied mathematics（cpam）、archive for rational mechanics and analysis（arma）、journal of differential equations、siam journal on applied mathematics、physical review letters（prl）、nonlinearity、journal of statistical physics、《数学物理学报》《应用数学学报》《计算数学》等期刊精读能力；科研经历偏好方程推导与定性分析、数值模拟与算法实现、渐近分析、稳定性证明、多尺度方法设计、数据驱动建模等训练。2026年推免预选拔通知已发布，建议尽早联系导师展示扎实的数学分析功底、敏锐的物理直觉与"以方程刻画复杂、以分析驾驭混沌"的专业素养。

二、知点保研核心优势

一是近十年深耕保研辅导，精准把握该方向"建模—分析—计算—应用"四维一体的选拔逻辑；二是专注复旦，在数学科学学院、复杂体系多尺度研究院、上海数学中心、教育部"非线性数学模型与方法"重点实验室等平台积累独家师资与信息渠道；三是定制一对一辅导，匹配非线性动力学、复杂网络、偏微分方程、多尺度方法、随机系统、流体力学、数据驱动建模、生物数学、金融数学、统计物理、控制理论等子方向导师；四是线上线下融合，结合定理推导训练、数值算法实现（matlab/python/julia）、物理直觉培养、顶刊论文精读；五是严格督学与全流程规划闭环服务。

三、辅导体系

围绕考核需求构建核心模块：绩点提升强化数学分析、高等代数、实变函数、泛函分析、常微分方程、偏微分方程、概率论、随机过程、数值分析等高权重课程；英语提升聚焦cpam、arma、journal of differential equations、siam journal on applied mathematics、prl、nonlinearity、journal of statistical physics等期刊精读与nonlinear dynamics、dynamical system、equilibrium point、stability analysis、limit cycle、bifurcation theory、hopf bifurcation、period-doubling bifurcation、saddle-node bifurcation、homoclinic orbit、heteroclinic orbit、chaos、lyapunov exponent、strange attractor、kolmogorov-arnold-moser（kam）theory、hamiltonian system、dissipative structure、small-world network、scale-free network、network dynamics、synchronization、consensus、network propagation、network controllability、percolation、community detection、higher-order network、hypergraph、temporal network、multiplex network、elliptic equation、parabolic equation、hyperbolic equation、navier-stokes equations、schrödinger equation、korteweg-de vries（kdv）equation、burgers equation、reaction-diffusion equation、free boundary problem、singularity formation、regularity theory、weak solution、strong solution、variational method、multiscale modeling、homogenization、heterogeneous multiscale method（hmm）、coarse-graining、renormalization group、stochastic differential equation（sde）、itô calculus、fokker-planck equation、langevin equation、large deviation theory、stochastic partial differential equation（spde）、stochastic dynamical system、noise-induced transition、stochastic resonance、metastability、incompressible flow、compressible flow、turbulence、boundary layer、vortex dynamics、multiphase flow、non-newtonian fluid、physics-informed neural network（pinn）、operator learning、deeponet、fourier neural operator（fno）、sparse identification of nonlinear dynamics（sindy）、dynamic mode decomposition（dmd）、koopman operator、data assimilation、reduced-order model（rom）、spectral method、finite element method（fem）、finite volume method（fvm）、lattice boltzmann method（lbm）、population dynamics、epidemic model（sir/seir）、turing pattern、hodgkin-huxley model、gene regulatory network、evolutionary game theory、stochastic control、optimal stopping、black-scholes、jump-diffusion、rough volatility、mean-field game、ising model、potts model、spin glass、glass transition、active matter、non-equilibrium statistical mechanics、entropy production、fluctuation theorem、model predictive control（mpc）、robust control、multi-agent system、game theory、variational inequality、convex optimization等前沿术语表达；论文辅导引导选择navier-stokes方程三维正则性问题中临界空间的新型先验估计、复杂网络高阶交互（单纯复形/超图）对同步阈值的修正理论、基于koopman算子谱分解的非线性系统全局线性化与数据驱动预测、反应扩散系统中turing不稳定性在时变网络上的推广与模式选择、随机偏微分方程在气候模式中噪声诱导临界转换的大偏差分析、多尺度均匀化方法在复合材料有效性能预测中的收敛速率优化、physics-informed neural networks在双曲守恒律激波捕捉中的熵修正策略、mean-field game在大规模多智能体系统最优控制中的存在唯一性与数值逼近、活性物质（active matter）集体运动中拓扑缺陷的动力学分类与相变机制、金融网络中系统性风险传播的percolation临界指数与压力测试模型等前沿议题。

专业课覆盖实分析与泛函分析（高级）、常微分方程与动力系统、偏微分方程（椭圆/抛物/双曲/非线性）、随机过程与随机微分方程、复分析与调和函数、微分几何与流形上的分析、计算数学与数值方法（有限元/谱方法/自适应）、多尺度建模与均匀化理论、流体力学数学理论、复杂网络与图论、统计物理与相变、生物数学与传染病动力学、金融数学与随机控制、数据驱动建模与科学机器学习、优化理论与变分方法、学术写作与定理证明规范等；笔试训练涵盖pde定性分析题（存在唯一性/正则性/能量估计/极值原理）、动力系统稳定性判别与分岔分析题（lyapunov函数构造/中心流形约化/正规形计算）、数值算法推导与收敛性证明题、渐近展开与多尺度匹配题、随机微分方程求解与fokker-planck方程推导题、英文文献方法论评述题、物理建模与方程推导题（给定现象建立数学模型）等；面试模拟强化"分析功底—物理直觉—计算能力—建模品味—应用洞察"五维平衡，针对"navier-stokes方程千禧年问题——正则性为何如此困难""混沌系统的'确定性不可预测性'对科学哲学的意义""复杂网络中'结构决定功能'命题的数学严格化程度""多尺度问题中'尺度分离'假设失效时的替代策略""数据驱动方法（pinn/sindy/koopman）能否替代传统pde推导——边界何在""随机性在复杂系统中是'噪声'还是'驱动力'""turbulence的'能量级联'理论——kolmogorov 1941假设的修正与争议""统计物理中'遍历性破缺'对平衡态统计力学的挑战""mean-field game中'nash均衡'与'mckean-vlasov极限'的等价性条件""活性物质研究中'连续介质描述'与'粒子模型'的适用边界""金融数学中'粗糙波动率'模型对经典black-scholes范式的颠覆""拓扑方法（持久同调/欧拉示性数）在复杂系统分析中的实际效力""人工智能时代应用数学的'不可替代性'——定理证明vs数据拟合""复杂系统研究中'还原论'与'涌现论'的方法论调和""数学建模中'过简'与'过繁'的黄金分割点如何把握"等高频追问专项训练；文书打磨突出"从物理直觉到方程建构、从定性分析到定量预测、从纯粹数学到工程落地"的转化能力与"以方程之简洁驾驭系统之复杂、以分析之严谨洞察混沌之秩序"的价值坚守。

竞赛与项目陪伴支持全国大学生数学竞赛（数学类）、全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛（mcm/icm）、"华为杯"中国研究生数学建模竞赛、丘成桐大学生数学竞赛（应用与计算数学方向）、中国工业与应用数学学会（csiam）学生论文竞赛、国际工业与应用数学大会（iciam）青年学者论坛、全国高校"应用数学与复杂系统"暑期学校、SIAM学生论文竞赛、全国大学生物理学术竞赛（cu pt）、"挑战杯"自然科学类学术论文等赛事，并提供复旦大学数学科学学院/复杂体系多尺度研究院课题组参与、上海数学中心前沿攻关项目、教育部"非线性数学模型与方法"重点实验室联合课题、国家"复杂系统调控与智能优化"重大研究计划子项目、中国商飞气动仿真联合攻关、国家气象局数值预报模式改进项目、央行系统性金融风险网络建模项目、华为2012实验室/腾讯AI Lab数学建模联合研究、国际工业与应用数学大会（iciam）及SIAM年会学术交流等内推机会。

复杂系统理论是21世纪科学的核心前沿，是连接纯粹数学之美与现实世界之繁的终极桥梁。当前我国在非线性pde正则性理论、湍流数学理论、多尺度方法原创、数据驱动科学发现、复杂网络控制、随机系统大偏差等领域正从"跟踪国际"向"引领原创"跨越，亟需兼具深厚分析功底、敏锐物理直觉、精湛计算能力与广阔跨学科视野的高层次理论-应用复合型人才。知点保研愿助力有志于"以方程为笔、以分析为墨、在混沌中书写秩序、在复杂中提炼简洁"的同学稳步前行。咨询报名可致电4000003363，或添加微信13671344286获取个性化评估与规划建议。